(Kumpulan Rumus Matematika) Hubungan Segitiga Pascal dengan Perpangkatan Aljabar
# PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR
Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar yaitu sebagai berikut.
Sebelumnya, kau telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, akhirnya niscaya sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b lalu b2). Jadi, dengan memakai pola segitiga Pascal dan hukum perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya sanggup diuraikan sebagai berikut.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
dan seterusnya.
Contoh Soal
a. (x + 5)3
b. (2x + 3)3
c. (x – 2)4
d. (3x – 4)3
e. (4x + 5y)3
f. (2x + 3y)3
g. (3x – 2y)4
h. (3x – 4y)3
Jawab:
a. (x + 5)3 misal a = x dan b = 5 maka,
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi a = x dan b = 5 maka,
(x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3x52 + 53
(x + 5)3 = x3 + 15x2 + 75x + 125
b. (2x + 3)3 misal a = 2x dan b = 3 maka
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi a = 2x dan b = 3 maka,
(2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)23 + 3(2x)32 + 33
(2x + 3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27
c. (x – 2)4 misal a = x dan b = -2 maka
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 substitusi a = x dan b = -2 maka,
(x – 2)4 = x4 + 4x3(-2) + 6x2(-2)2 + 4x(-2)3 + (-2)4
(x – 2)4 = x4 - 8x3 + 24x2 - 32x + 16
d. (3x – 4)3 misal a = 3x dan b = -4 maka
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi a = 3x dan b = -4 maka,
(3x – 4)3 = (3x)3 + 3(3x)2(-4) + 3(3x)(-4)2 + (-4)3
(3x – 4)3 = 27x3 - 108x2 + 144x - 64
e. (4x + 5y)3 misal a = 4x dan b = 5y maka
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi a = 4x dan b = 5y maka,
(4x + 5y)3 = (4x)3 + 3(4x)2(5y) + 3(4x)(5y)2 + (5y)3
(4x + 5y b)3 = 64x3 + 240x2y + 300xy2 + 125y3
f. (2x + 3y)3 misal a = 2x dan b = 3y maka
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi a = 2x dan b = 3y maka,
(2x + 3y)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3y) + 3(2x)(3y)2 + (3y)3
(2x + 3y)3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
g. (3x – 2y)4 misal a = 3x dan b = -2y maka
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 substitusi a = 3x dan b = -2y maka,
(3x – 2y)4 = (3x)4 + 4(3x)3(-2y) + 6(3x)2(-2y)2 + 4(3x)(-2y)3 + (-2y)4
(3x – 2y)4 = 81x4 - 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
h. (3x – 4y)3 misal a = 3x dan b = -4y maka
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, substitusi a = 3x dan b = -4y maka,
(3x – 4y)3 = (3x)3 + 3(3x)2(-4y) + 3(3x)(-4y)2 + (-4y)3
(3x – 4y)3 = 27x3 - 108x2y + 144xy2 + 256y3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar, untuk bentuk aljabar (ax + by), maka akan berlaku:
(ax + by)n = (ax + by)(ax + by)(ax + by) . . . (ax + by)
Dimana (ax + by) sebanyak n.
Untuk memantapkan pemahaman Anda perihal cara memilih operasi perpangkatan pada bentuk aljabar, silahkan perhatikan rujukan soal di bawah ini.
Contoh soal 1
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.
a. (2a)2
b. (3xy)3
c. (–2ab)4
d. (4a2b2)2
e. –3(x2y)3
f. –(2pq)4
g. ½(2xy)2
h. a(ab2)3
Penyelesaian:
Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut.
a. (2a)2
<=> (2a)2 = (2a)(2a)
<=> (2a)2 = 4a2
b. (3xy)3
<=> (3xy)3 = (3xy)(3xy)(3xy)
<=> (3xy)3 = 9x3y3
c. (–2ab)4
<=> (–2ab)4 = (–2ab)(–2ab)(–2ab)(–2ab)
<=> (–2ab)4 = 8a4b4
d. (4a2b2)2
<=> (4a2b2)2 = (4a2b2)(4a2b2)
<=> (4a2b2)2 = 16a4b4
e. –3(x2y)3
<=> –3(x2y)3 = –3(x2y)(x2y)(x2y)
<=> –3(x2y)3 = –3(x6y3
f. –(2pq)4
<=> –(2pq)4 = –(2pq)(2pq)(2pq)(2pq)
<=> –(2pq)4 = –16p4q4
g. ½(2xy)2
<=> ½(2xy)2 = ½(2xy)(2xy)
<=> ½(2xy)2 = ½.4x2y2
<=> ½(2xy)2 = 2x2y2
h. a(ab2)3
<=> a(ab2)3 = a(ab2)(ab2)(ab2)
<=> a(ab2)3 = a(a3b6)
<=> a(ab2)3 = a4b6
Nah rujukan di atas merupakan rujukan soal untuk perpangkatan bentuk aljabar suku satu, bagaimana perpangkatan bentuk aljabar suku dua?
Untuk perpangkatan bentuk aljabar suku dua kita sanggup gunakan pola segitiga pascal, ibarat gambar di bawah ini.
Bagaimana memakai segitiga pascal di atas untuk menjabarkan perpangkatan bentuk aljabar yang bersuku dua? Silhkan simak rujukan penjabarannya berikut ini. Kita misalkan (a + b)3, berdasarkan gambar di atas koefesien untuk (a + b)3 adalah 1 3 3 1, maka penjabarannya yakni:
(a + b)3 = 1.a3 + 3.a2b + 3.ab2 + 1.b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Sekarang coba perhatika jumlah pangkat tiap sukunya! Ternyata jumlah pangkatnya sama dengan tiga. Masih bingung? Oke, Mafia Online berikan satu rujukan klasifikasi untuk bentuk aljabar (a + b)6, berdasarkan gambar di atas koefesien untuk (a + b)6 adalah 1 6 15 20 15 6 1, maka penjabarannya yakni:
(a + b)6
= 1.a6 + 6.a5b + 15.a4b2 + 20.a3b3 + 15.a2b4 + 6.ab5 + 1.b5
= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b5
Sekarang coba perhatika jumlah pangkat tiap sukunya! Ternyata jumlah pangkatnya sama dengan enam.
Untuk memantapkan pemahaman Anda perihal operasi perpangkatan bentuk aljabar suku dua dengan memakai segitiga pascal, silahkan simak rujukan soal di bawah ini.
Contoh Soal 2
Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar berikut.
a. 2(3p + q)4
b. 5(3a + 2)4
Penyelesaian:
a. 2(3p + q)4, koefesien untuk bentuk aljabar suku dua pangkat empat yakni 1 4 6 4 1, maka:
<=> 2(1.(3p)4 + 4(3p)3q + 6(3p)2q2 + 4(3p)q3 + 1.q4)
<=> 2(34p4 + 4(33p3q) + 6(32p2q2) + 4(3pq3) + q4)
<=> 2(81p4 + 4(27p3q) + 6(9p2q2) + 4(3pq3) + q4)
<=> 162p4 + 108p3q + 54p2q2 + 12pq3 + q4
b. 5(3a + 2)4, koefesien untuk bentuk aljabar suku dua pangkat empat yakni 1 4 6 4 1, maka:
<=> 5(1.(3a)4 + 4(3a)3.2 + 6(3a)222 + 4(3p)23 + 1.24)
<=> 5(34a4 + 4.33a3.2 + 6.32a2.22 + 4.3p23 + 24)
<=> 5(81a4 + 4.27a3.2 + 6.9a2.4 + 4.3p.8 + 16)
<=> 5(81a4 + 216a3 + 216a2 + 96p + 16)
<=> 405a4 + 1080a3 + 1080a2 + 480p + 80
Contoh Soal 2
Tentukan koefisien (a + b)n pada suku yang diberikan.
a. Suku ke-2 pada (2a – 3)4.
b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3.
c. Suku ke-4 pada (a – 3b)4.
d. Suku ke-5 pada (2x + 3)5.
Penyelesaian:
a. Suku ke-2 pada (2a – 3)4. Misalkan x = 2a dan y = – 3, (2a – 3)4 akan menjadi (x + y)4 maka suku ke-2 yakni:
<=> 4.x3y = 4.(2a)3(–3)
<=> 4.x3y = –12.8a3
<=> 4.x3y = –96a3
Jadi koefisien suku ke-2 pada (2a – 3)4 adalah –96.
b. Suku ke-3 pada (x + 2y)3. Misalkan a = x dan b = 2y, (x + 2y)3 akan menjadi (a + b)3 maka suku ke-2 yakni:
<=> 3.ab2 = 3.x(2y)2
<=> 3.ab2 = 12xy2
Jadi koefisien suku ke-3 pada (x + 2y)3 adalah 12.
c. Suku ke-4 pada (a – 3b)4. Misalkan x = a dan y = – 3b, (a – 3b)4 akan menjadi (x + y)4 maka suku ke-4 yakni:
<=> 4.xy3 = 4.(a)(–3b)3
<=> 4.xy3 = 4.(a)(–33b3)
<=> 4.xy3 = –108ab3
Jadi koefisien suku ke-4 pada (a – 3b)4 adalah –108.
-----------------------------------------------------------------------------------------
Matematika merupakan suatu ilmu yang niscaya semua orang temui saat mereka duduk dibangku sd, smp, hingga sma. Kalo dilema sekolah tinggi tinggi tergantung jurusan yang diambil masing-masing. Nah, mau ga mau kita juga harus mempelajari bahan dalam matematika itu. Kali ini yang kita bahas yaitu mengenai Ajabar. Apa itu Aljabar?
Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari penyederhanaan serta pemecahan dilema memakai simbol yang menjadi pengganti konstanta atau variabel.
Unsur-Unsur Aljabar
1. Variabel, konstanta, faktor
Variabel/peubah yaitu lambang pengganti suatu bilangan yang nilainya belum diketahui dengan jelas, biasanya dilambangkan dengan abjad kecil a, b, c, …, z.
Konstanta yaitu suku dari suatu bentuk aljabar dan berupa bilangan serta tidak memuat variabel.
Jika terdapat suatu bilangan a dan sanggup diubah menjadi a=p.q dimana a, p, dan q bilangan lingkaran maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.
rujukan : 7x+3y+8x-5y+6
variabel : x dan y
konstanta : 6
7x sanggup diuraikan menjadi 7x=7x.1 atau 7x=7.x sehingga faktor dari7x yaitu 1, 7, x, 7x
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
Suku merupakan variabel koefisien atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan dengan operasi jumlah atau selisih.
Suku-suku homogen merupakan suku yang mempunyai variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. rujukan : 5x dan -3x, 2a² dan a², y dan 6y
Suku-suku tak homogen merupakan suku yang mempunyai variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.
rujukan : 2x dan 3x², -7y dan -x²
Suku satu merupakan bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah dan selisih. rujukan : 2x, 4y, …
Suku dua merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. rujukan : 2x-4y, a²-5, …
Suku tiga merupakan bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. rujukan : 2x²+3×-1, 3x+4y-xy, …
Operasi Hitung Pada Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Operasi ini hanya sanggup dilakukan pada suku-suku yang sejenis.
2. Perkalian
Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif a(b+c)=ab+ac dan a(b-c)=ab-ac. Sifat ini juga berlaku untuk bentuk aljabar.
3. Perpangkatan
Dalam bilangan bulat Operasi perpangkatan sanggup diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal yang sama berlaku untuk aljabar, pada perpangkatan aljabar koefisien tiap suku ditentukan berdasarkan segitiga pascal.
4. Pembagian
Hasil dari pembagian dua buah bentuk aljabar diperoleh dengan terlebih dahulu memilih faktor sekutu dari masing-masing selanjutnya melaksanakan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
5. Substitusi Pada Bentuk Aljabar
Nilai dari suatu bentuk aljabar sanggup diperoleh dengan mensubstitusikan sembarang bilangan pada variabel bentuk aljabar tersebut.
6. KPK dan FPB Bentuk Aljabar
Dalam memilih KPK dan FPB bentuk aljabar sanggup dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar menjadi perkalian faktor-faktor primanya.
Pecahan Bentuk Aljabar
1. Menyederhanakan Bentuk Pecahan Aljabar
Pecahan bentuk aljabar dikatakan mempunyai bentuk paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor komplotan kecuali 1 serta penyebutnya ≠0. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar sanggup dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan FPB dari keduanya.
2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar Dengan Penyebut Suku Tunggal
a. Penjumlahan
Penjumlahan dari pecahan aljabar dilakukan dengan cara yang sama ibarat halnya pecahan biasa, yaitu dengan menyamakan penyebut dari pecahan dengan cara mencari KPK nya lalu gres dijumlahkan. Perhatikan rujukan berikut.
b. Perkalian dan Pembagian
Perkalian dari pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian pecahan biasa. Perhatikan rujukan berikut :
c. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
Perpangakatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama, hal tersebut juga berlaku dengan perpangkatan bentuk aljabar.
0 Response to "(Kumpulan Rumus Matematika) Hubungan Segitiga Pascal dengan Perpangkatan Aljabar"
Post a Comment